Для нахождения определенного интеграла данной функции (1 + (2x)^2)^(1/2) от точки A до точки B необходимо сначала вычислить первообразную функции.

Используем замену переменной x = tan(u), тогда dx = sec^2(u)du и (1 + (2x)^2)^(1/2) = (1 + tan^2(u))^1/2 = sec(u).

Интеграл становится ∫sec(u)*sec^2(u)du = ∫sec^3(u)du.

Проинтегрируем sec^3(u) по u:

∫sec^3(u)du = ∫sec(u)sec^2(u)du = tan(u)sec(u) + ln|sec(u) + tan(u)| + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь нужно вернуться к исходной переменной x:

tan(u) = x, sec(u) = sqrt(1 + x^2).

Итак, первообразная функции равна:
F(x) = tan(u)sec(u) + ln|sec(u) + tan(u)| = xsqrt(1 + x^2) + ln|sqrt(1 + x^2) + x| + C.

Теперь вычислим определенный интеграл от A до B:

∫[A, B] (1 + (2x)^2)^(1/2)dx = F(B) - F(A)
= [Bsqrt(1 + B^2) + ln|sqrt(1 + B^2) + B|] - [Asqrt(1 + A^2) + ln|sqrt(1 + A^2) + A|].