Докажем это следующим образом:

Пусть M - середина стороны AC, I - центр вписанной окружности треугольника ABC.

Так как окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке M, то IM перпендикулярен к AC.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до стороны треугольника, по которой проведен перпендикуляр, следовательно, радиус вписанной окружности равен IM.

Так как IM - радиус вписанной окружности, то треугольник AIM равнобедренный (так как AI=IM).

Из равнобедренности треугольника AIM следует, что AM = IM, то есть AM = радиус вписанной окружности.

Но AM также является медианой треугольника ABC (так как M - середина стороны AC), а медиана треугольника делит сторону на две равные части.

Таким образом получаем, что AB = BC, ч.т.д.