Для нахождения производной сложной функции Y=(1+x^2)^5, применим правило дифференцирования сложной функции.

Сначала найдем производную внешней функции u=(1+x^2)^5 по переменной x. Для этого используем степенное правило дифференцирования:

u' = 5(1+x^2)^4 * 2x = 10x(1+x^2)^4

Теперь вычислим производную внешней функции Y= u^5 по переменной u, используя степенное правило дифференцирования:

Y' = 5u^4 u' = 5(1+x^2)^4 10x(1+x^2)^4 = 50x(1+x^2)^8

Итак, производная сложной функции Y=(1+x^2)^5 равна 50x(1+x^2)^8.