Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой сложения для синуса и косинуса:

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)

cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

Теперь преобразуем левую часть:

sin(l + b) + sin(l - b) / cos(l + b) + cos(l - b)
(sin(l) cos(b) + cos(l) sin(b)) + (sin(l) cos(b) - cos(l) sin(b)) / (cos(l) cos(b) - sin(l)sin(b) + cos(l) cos(b) + sin(l) sin(b))
2 sin(l) cos(b) / 2 cos(l) cos(b)
tan(l) * tan(b) = tan(l + b)

Таким образом, доказано исходное тождество sin(l + b) + sin(l - b) / cos(l + b) + cos(l - b) = tan(l) * tan(b), что равносильно tan(l + b).