Для доказательства данного утверждения достаточно показать, что [tex]n^{7} -n[/tex] делится на 42 для любого [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].

Прежде всего заметим, что [tex]n^{7} -n = n(n^6 - 1)[/tex].

Из формулы разности квадратов имеем:
[tex]n^6 - 1 = (n^3 - 1)(n^3 + 1)[/tex]

Следовательно, [tex]n^{7} -n = n(n^3 - 1)(n^3 + 1)[/tex].

Таким образом, [tex]n^{7} -n[/tex] можно представить как произведение трех чисел: n, n^3 - 1 и n^3 + 1.

Для любого натурального числа n, как приведенные выше выкладки показывают, значение [tex]n^{7} -n[/tex] будет произведением трех последовательных чисел. Одно из этих чисел будет кратно 3, а другое будет кратно 2, так как n^3 - 1 и n^3 + 1 всегда будут иметь разные остатки при делении на 2. Итак, [tex]n^{7} -n[/tex] делится на 6 (3*2) для любого натурального n.

Поскольку 42 является кратным 6, то [tex]n^{7} -n[/tex] также делится на 42 для любого натурального n.