Для доказательства данного неравенства воспользуемся дискриминантом квадратного трехчлена.

Рассмотрим данный квадратный трехчлен вида:
49b^2 - 14bc + 2c^2 + 16c + 69

Его дискриминант D = (-14c)^2 - 4 49 (2c^2 + 16c + 69)
D = 196c^2 - 4 49 (2c^2 + 16c + 69)
D = 196c^2 - 4 * (98c^2 + 784c + 3381)
D = 196c^2 - 392c^2 - 3136c - 13524
D = -196c^2 - 3136c - 13524

Для того, чтобы неравенство 49b^2 - 14bc + 2c^2 + 16c + 69 > 0 было верным, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля:
-196c^2 - 3136c - 13524 < 0
Далее решим это квадратное неравенство относительно переменной c.

Дискриминант также можно найти, но он не играет роли в решении данного неравенства, так как оно уже использует его только для проверки знаков.

Решив это неравенство относительно переменной c, мы можем получить интервалы значений c, для которых неравенство 49b^2 - 14bc + 2c^2 + 16c + 69 > 0 будет верным.