Наибольшее количество подряд идущих интересных чисел равно 3.

Пример: 123, 124, 125

Докажем, что больше чисел получить нельзя. Рассмотрим последовательность трехзначных чисел, начиная с 100 и заканчивая 999. В каждом числе данной последовательности хотя бы одна цифра делится на 3. Пусть в последовательности есть 4 подряд идущих числа, т.е. a, a+1, a+2, a+3 всех интересны. Рассмотрим числа, которые не являются интересными: a-1 и a+4. Если a-1 делится на 3, то либо a=101 и a-1=100, что противоречит тому, что a является трехзначным числом, либо a>101 и a-1=a-3, не делится на 3, что противоречит тому, что a-1 должно быть интересным числом. Аналогично, a+4 должно делиться на 3, что противоречит тому, что a+4 не является интересным числом.

Таким образом, наибольшее количество подряд идущих интересных чисел равно 3.