Таким образом, неравенство x^2 - 6x + 9 / (x^2 - 4x - 5) ≥ 0 можно представить в виде:
(x - 3)^2 / ((x - 5)(x + 1)) ≥ 0.
Далее, нужно определить интервалы значений x, для которых неравенство выполнено:
1) x ≠ -1, x ≠ 5, так как знаменатель не может равняться нулю. 2) Выражение в знаменателе не равно нулю, следовательно, неравенство останется без изменений при умножении обеих сторон на ((x - 5)(x + 1))^2:
(x - 3)^2 ≥ 0.
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство x^2 - 6x + 9 ≥ 0 выполняется для любых x.
Итак, решением неравенства x^2 - 6x + 9 / (x^2 - 4x - 5) ≥ 0 является множество всех действительных чисел, кроме -1 и 5.
Для начала найдем корни уравнения x^2 - 4x - 5 = 0:
D = (-4)^2 - 41(-5) = 16 + 20 = 36,
x1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5,
x2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1.
Таким образом, неравенство x^2 - 6x + 9 / (x^2 - 4x - 5) ≥ 0 можно представить в виде:
(x - 3)^2 / ((x - 5)(x + 1)) ≥ 0.
Далее, нужно определить интервалы значений x, для которых неравенство выполнено:
1) x ≠ -1, x ≠ 5, так как знаменатель не может равняться нулю.
2) Выражение в знаменателе не равно нулю, следовательно, неравенство останется без изменений при умножении обеих сторон на ((x - 5)(x + 1))^2:
(x - 3)^2 ≥ 0.
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство x^2 - 6x + 9 ≥ 0 выполняется для любых x.
Итак, решением неравенства x^2 - 6x + 9 / (x^2 - 4x - 5) ≥ 0 является множество всех действительных чисел, кроме -1 и 5.