Для нахождения предела (3^(x)-81)/(sin(pi*x)) при x -> 4, сначала подставим x = 4 в выражение:

(3^(4)-81)/(sin(pi4)) = (81-81)/(sin(4pi)) = 0/0

Так как получили неопределенность 0/0, то применим правило Лопиталя, найдем производные числителя и знаменателя:

f(x) = 3^(x) - 81, g(x) = sin(pix)
f'(x) = ln(3)3^(x), g'(x) = picos(pix)

Теперь подставим эти значения:

lim(x->4) (f(x))/(g(x)) = lim(x->4) ((ln(3)3^(x))/(picos(pi*x)))

Подставляем x = 4:

= ((ln(3)3^(4))/(picos(pi4)))
= ((ln(3)81)/(picos(4pi)))
= ((ln(3)81)/(picos(0)))

cos(0) = 1, поэтому:

= (ln(3)*81) / pi

Ответ: предел (3^(x)-81)/(sin(pix)) при x -> 4 равен (ln(3)81) / pi.