Для вычисления определителя матрицы сделаем преобразования к треугольному виду. Для этого применим элементарные преобразования строк.

Домножим первую строку на 4 и вычтем из второй строки:
5 -3 7 -1
0 14 -28 6
2 1 4 -6
3 -2 9 4

Домножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки:
5 -3 7 -1
0 14 -28 6
0 7 -10 -4
3 -2 9 4

Поменяем местами вторую и третью строки:
5 -3 7 -1
0 7 -10 -4
0 14 -28 6
3 -2 9 4

Домножим вторую строку на 2 и вычтем из третьей строки:
5 -3 7 -1
0 7 -10 -4
0 0 -8 14
3 -2 9 4

Теперь матрица приведена к верхней треугольной форме. Чтобы найти определитель, перемножим элементы главной диагонали:
det = 5 7 (-8) * 4 = -1120

Таким образом, определитель матрицы равен -1120.