Для нахождения наименьшего значения функции y=cos^2x+cosx+1, мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Найдем производную функции по переменной x:

y' = -2cosxsinx - sinx

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

-2cosxsinx - sinx = 0

sinx(-2cosx - 1) = 0

sinx = 0 или -2cosx - 1 = 0

sinx = 0 при x = 0, π, 2π, ...

-2cosx - 1 = 0

cosx = -1/2

x = 2π/3, 4π/3, ...

Теперь найдем значение функции в этих точках:

При x = 0: y(0) = cos(0)^2 + cos(0) + 1 = 1

При x = π: y(π) = cos(π)^2 + cos(π) + 1 = 1

При x = 2π/3: y(2π/3) = cos(2π/3)^2 + cos(2π/3) + 1 = (1/4) - (1/2) + 1 = 5/4

При x = 4π/3: y(4π/3) = cos(4π/3)^2 + cos(4π/3) + 1 = (1/4) - (1/2) + 1 = 5/4

Таким образом, наименьшее значение функции y=cos^2x+cosx+1 равно 1, которого достигается в точках x = 0 и x = π.