(x^2 - 2x - 8 > 0)

Сначала найдем корни квадратного уравнения (x^2 - 2x - 8 = 0):

(x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 41(-8)}}{2*1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2})

(x_1 = 4), (x_2 = -2)

Теперь построим промежутки, разбив их сначала по корням:

(-\infty -----(-2)-----4-----+\infty)

Выберем произвольную точку в каждом промежутке:

Для (x < -2), возьмем (x = -3): ((-3)^2 - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0) - удовлетворяет неравенству.Для (-2 < x < 4), возьмем (x = 0): (0^2 - 2*0 - 8 = -8 < 0) - не удовлетворяет неравенству.Для (x > 4), возьмем (x = 5): (5^2 - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0) - удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решением данного неравенства является: (-\infty < x < -2) или (x > 4)

(x^2 + 6x + 9 > 0)

Это неравенство можно представить как ((x+3)^2 > 0), так как (x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2)

Квадрат любого числа (в данном случае (x+3)) всегда неотрицателен, за исключением случая, когда оно равно 0.

Таким образом, данное неравенство выполняется для всех (x \in \mathbb{R}).