Для функции $y=\sqrt{5^{2x+1}-1}$ областью определения являются все значения $x$, для которых $5^{2x+1}-1 \geq 0$, так как внутри корня должно быть неотрицательное значение.

Начнем с поиска наименьшего значения $x$, при котором $5^{2x+1}-1 \geq 0$:
$5^{2x+1} \geq 1$

Так как $5^0=1$, то $2x+1 \geq 0$ или $2x \geq -1$ или $x \geq -\frac{1}{2}$.

Следовательно, наименьшее значение $x$, для которого функция определена, равно $-\frac{1}{2}$.