Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством о средних:

Для положительных чисел А, В, С верно неравенство: √(AB) ≤ (A+B)/2

Применяем это неравенство три раза:
√(AB) ≤ (A+B)/2
√(AC) ≤ (A+C)/2
√(BC) ≤ (B+C)/2

Теперь перемножаем эти неравенства:
√(AB) √(AC) √(BC) ≤ (A+B)/2 (A+C)/2 (B+C)/2
√(A^2 B^2 C^2) ≤ (A+B)(A+C)(B+C)/8

Так как известно, что A, B, C > 0, то √(A^2 B^2 C^2) = ABC

Получаем следующее неравенство:
ABC ≤ (A+B)(A+C)(B+C)/8

Учитывая, что AB + AC + BC + A + B + C = AB + AC + BC + A + B + C + 1 + 1 + 1, а (A+B)(A+C)(B+C) = ABC + AB + AC + BC + A + B + C + 1, то мы можем переписать неравенство следующим образом:
ABC ≤ (A+B)(A+C)(B+C)/8
ABC + AB + AC + BC + A + B + C + 1 ≤ (A+B)(A+C)(B+C)/8 + 3
(A+1)(B+1)(C+1) ≤ (A+B)(A+C)(B+C)/8 + 3

Таким образом, получаем:
(A+1)(B+1)(C+1) ≤ 8√ABC + 3

Итак, доказали, что (A+1)(B+1)(C+1) ≥ 8√ABC.