Чтобы построить семейство линий уровня для функции z = arcsin$x\ast y$, необходимо сначала найти частные производные функции по переменным x и y.

Частная производная по x:
∂z/∂x = $1/(1-(x<em>y{)}^2)$$y$

Частная производная по y:
∂z/∂y = $1/(1-(x<em>y{)}^2)$$x$

Затем необходимо найти уравнение нормали к поверхности z = arcsin$x\ast y$ в любой точке $x0,y0,z0$:

Уравнение нормали к поверхности z = arcsin$x<em>y$ в точке $x0,y0,z0$ имеет вид:
∂z/∂x $x-x0$ + ∂z/∂y * $y-y0$ = z - z0

Полученное уравнение нормали является уравнением линии, проходящей через точку $x0,y0,z0$ на поверхности z = arcsin$x\ast y$.

Построение семейства линий уровня состоит в том, чтобы выбрать различные точки $x0,y0$ в координатной плоскости и построить соответствующие кривые, соответствующие линиям уровня функции z = arcsin$x\ast y$.

Таким образом, построив множество кривых, соответствующих линиями уровня данной функции, можно получить семейство линий уровня для функции z = arcsin$x\ast y$.