Рассмотрим цилиндрический сосуд объемом 8π литров с радиусом основания r и высотой h. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πr^2h.

Так как сосуд открытый сверху, наша задача состоит в минимизации площади поверхности сосуда, которая вычисляется по формуле S = 2πrh + πr^2.

Давайте выразим радиус r через высоту h из формулы объема: h = (8/π) / r^2.

Теперь подставим это значение в формулу для площади поверхности и возьмем производную от S по r, приравнивая ее к нулю для нахождения минимума:
S' = 2πh - πr = 0. Таким образом, r = h.

Подставим значение r = h из формулы объема: h = (8/π) / h^2. Умножим обе стороны на h^2 и решим квадратное уравнение: h^3 = 8/π, h = (8/π)^(1/3).

Таким образом, для минимизации использования материала размеры цилиндрического сосуда должны быть равны h = (8/π)^(1/3), r = (8/π)^(1/3).