Теорема: Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, равны между собой.

Доказательство:
Пусть у нас есть два треугольника ABC и A'B'C', у которых угол A = углу A', угол B = углу B' и угол C = углу C'.

Построим треугольники ABH и A'B'H', где H и H' - это основания высот, опущенных из вершин C и C' на стороны AB и A'B' соответственно.

Так как угол A = угол A' и угол C = угол C', то треугольники ABC и A'B'C' подобны, поэтому отношение сторон AB и A'B' равно отношению сторон BC и B'C' равно отношению сторон AC и A'C'.

Пусть h и h' - это высоты треугольников ABC и A'B'C', тогда отношение площадей треугольников ABC и A'B'C' равно отношению произведения баз AB h к произведению баз A'B' h'.

S(ABC) / S(A'B'C') = (AB h) / (A'B' h') = (AB / A'B') (h / h') = 1 1 = 1.

Таким образом, площади двух треугольников, имеющих по равному углу, равны между собой.