Для решения линейного однородного уравнения второго порядка y'' + 4y = 0, нам известно, что у = 1 и y' = -2 при x = π/4.

Подставим известные значения в уравнение:

y'' + 4y = 0
y'' + 4 = 0 (так как y = 1)
4 - y'' = 0 (так как y' = -2)
Теперь решим систему уравнений:

4 - y'' = 0
y'' = 4

Таким образом, мы нашли решение уравнения y'' = 4.

Найдем общее решение этого уравнения:

y(x) = c1sin(2x) + c2cos(2x)

где c1 и c2 - произвольные константы.

Теперь, чтобы найти конкретные значения c1 и c2, подставим известные условия y(π/4) = 1 и y'(π/4) = -2:

y(π/4) = c1sin(π/2) + c2cos(π/2) = c2 = 1
y'(π/4) = 2c1cos(π/2) - 2c2sin(π/2) = -2
-2c2 = -2
c2 = 1

Таким образом, мы получаем, что c1 = 0.

Итак, решение уравнения y'' + 4y = 0 при условиях y = 1 и y' = -2 при x = π/4 равно:

y(x) = cos(2x)