Для доказательства первого утверждения рассмотрим подстановку 6^18 = (6^3)^6 и 36^8 = (6^2)^8. Тогда получаем:

6^18 + 36^8 = (6^3)^6 + (6^2)^8 = (216)^6 + (36)^8 = (376)^6 + (376)^8 = 37^6 6^6 + 37^8 6^8 = 37^6 * (6^6 + 6^8)

Так как 37^6 делится на 37, то и всё выражение делится на 37 без остатка.

Для доказательства второго утверждения представим числа 3^24, 9^11 и 27^7 в виде произведения чисел, кратных 25:

3^24 = (3^2)^12 = 9^12 = (1-25)^12 = 1 - 2512 + 25^26 + ... + 25^11(-12) + 25^12
9^11 = (3^2)^11 = 9(9^2)^5 = 9(1-25)^5 = 9(1 - 255 + 25^23 - 25^31 + 25^41) = 9 - 9255 + 925^23 - 925^3 + 925^4
27^7 = (3^3)^7 = 27^7 = (2*25 + 7)^7 = 7^7

Теперь составим новое выражение:

3^24 - 9^11 + 27^7 = (1 - 2512 + 25^26 + ... + 25^11(-12) + 25^12) - (9 - 9255 + 925^23 - 925^3 + 9*25^4) + 7^7

Это выражение можно переписать как:

(1 - 9 + 7^7) - 25(12 - 5 + 23) + 25^2(6 - 3) + ... + 25^10(-12) + 25^11

Первые три слагаемые явно делятся нацело на 25. Далее будут содержаться только кратные 25 слагаемые, которые также точно делятся на 25. Значит, исходное выражение также делится на 25 без остатка.