Для начала найдем координаты вершины С.

Так как диагонали ромба являются взаимно перпендикулярными и делят друг друга пополам, можем использовать формулу середины отрезка для нахождения координат вершины C:

Середина отрезка AB:
x = (4 + 2) / 2 = 3,
y = (-1 - 4) / 2 = -2.5.

Таким образом, координаты вершины C равны C(3, -2.5).

Теперь найдем площадь ромба ABCD.

Для нахождения площади ромба можно использовать следующую формулу:

S = 1/2 d1 d2,

где d1 и d2 - диагонали ромба.

Для нахождения диагоналей ромба, используем координаты вершин:

d1 = √((4 - 2)^2 + (-1 - (-4))^2) = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13,

d2 = √((3 - 2)^2 + (-2.5 - 2)^2) = √(1^2 + 4.5^2) = √(1 + 20.25) = √21.25 = √85/2.

Теперь подставим значения в формулу для площади ромба:

S = 1/2 √13 √85/2 = 1/2 √(13 85) = √(1105) ≈ 33.26.

Итак, координаты вершины C(3, -2.5), площадь ромба ABCD ≈ 33.26.