Для начала проведем замену переменной: ( u = 2x, du = 2dx )

Тогда наш интеграл может быть записан в виде:

[ \int{\frac{\pi}{8}}^{0} \frac{xdx}{\cos^2(2x)} = \frac{1}{2} \int{\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{du}{\cos^2(u)} ]

Затем воспользуемся формулой тангенса:

[ \int \frac{du}{\cos^2(u)} = \tan(u) + C ]

Интеграл преобразуется следующим образом:

[ \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{du}{\cos^2(u)} = \frac{1}{2} \left[ \tan(0) - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] ]

[ = \frac{1}{2} \left[ 0 - 1 \right] = -\frac{1}{2} ]

Таким образом, значение определенного интеграла равно -1/2.