Функция имеет хотя бы одну точку максимума, когда первая производная равна нулю и вторая производная меньше нуля в этой точке.

Давайте найдем производную функции f(x):
f'(x) = 2x - 4*sign(x-a^2) - 6

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
2x - 4*sign(x-a^2) - 6 = 0

Теперь нужно учесть, что модуль выражения |x-a^2| равен:
|x-a^2| = {
x-a^2, если x >= a^2,
-(x-a^2), если x < a^2
}

Таким образом, необходимо рассмотреть случаи, когда x >= a^2 и x < a^2.

Для x >= a^2:
Подставляем x = a^2 в уравнение производной:
2a^2 - 4 - 6 = 0
2a^2 - 10 = 0
a^2 = 5
a = ±√5

Для x < a^2:
Подставляем x = a^2 в уравнение производной:
2a^2 + 4 - 6 = 0
2a^2 - 2 = 0
a^2 = 1
a = ±1

Таким образом, функция имеет хотя бы одну точку максимума, когда a = ±1 или a = ±√5.