Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами двойного и тройного угла:

Формула двойного угла:
sin(2α) = 2sinαcosα

Формула тройного угла:
sin(3α) = 3sinα - 4sin^3α

Теперь рассмотрим левую часть уравнения:

2sin^2(45° - 3t) + sin6t

После преобразований:

2sin^2(45° - 3t) + sin6t = 2(sin^2(45°)cos^2(3t) - 2sin(45°)cos(45°)cos(3t)sin(3t)) + 3sin(2t)cos(2t)

Угол 45° равен π/4 радиан, поэтому sin(45°) и cos(45°) оба равны 1/√2. Подставляем значения:

2((1/√2)^2cos^2(3t) - 2(1/√2)(1/√2)cos(3t)sin(3t)) + 3sin(2t)cos(2t) = 2(1/2cos^2(3t) - 1/2 cos(3t)sin(3t)) + 3sin(2t)cos(2t)

Далее преобразуем это выражение с использованием тригонометрических тождеств и формул двойного и тройного угла:

2(1/2cos^2(3t) - 1/2cos(3t)sin(3t)) + 3sin(2t)cos(2t)
= cos^2(3t) - cos(3t)sin(3t) + 3sin(2t)cos(2t)
= cos^3(2t) - 3/4sin^2(2t)cos(2t) + 3sin(2t)cos(2t)
= cos^3(2t) - 3/4sin^2(2t)cos(2t) + 6/4sin(2t)cos(2t)
= cos^3(2t) + 3/4sin(2t)cos(2t)
= cos^3(2t) + 3/4sin(4t)

Теперь подставим значение sin(3α) из формулы тройного угла:

= cos^3(2t) + 3/4[3sin(2t) - 4sin^3(2t)]
= cos^3(2t) + 9/4sin(2t) - 3sin^3(2t)

Далее упростим это выражение:

cos^3(2t) + 9/4sin(2t) - 3sin^3(2t) = 1

Таким образом, левая часть уравнения равна 1, что доказывает исходное тождество:

2sin^2(45° - 3t) + sin6t = 1.