Для начала заметим, что ( \cos 2x = 2(\cos x)^2 - 1 ).

Подставим это выражение в уравнение ( \cos^2 x - \cos 2x = 0.75 ):

[ \cos^2 x - 2(\cos x)^2 + 1 = 0.75 ]
[ -\cos^2 x + 1 = 0.75 ]
[ \cos^2 x = 1 - 0.75 = 0.25 ]
[ \cos x = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5 ]

Таким образом, у нас есть два возможных решения: ( \cos x = 0.5 ) и ( \cos x = -0.5 ).

Для ( \cos x = 0.5 ), угол ( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n ), где ( n ) - целое число.

Для ( \cos x = -0.5 ), угол ( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n ), где ( n ) - целое число.

Поэтому общее решение уравнения ( \cos^2 x - \cos 2x = 0.75 ) имеет вид:

[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n ]