Для исследования функции на выпуклость и вогнутость, нужно найти вторую производную данной функции.

Найдем производные функции:
y'=15x^4-40x^3-90x^2+12
y''=60x^3-120x^2-180x

Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю и найдя корни уравнения:
60x^3-120x^2-180x=0
x(60x^2-120x-180)=0
x(x^2-2x-3)=0
x(x-3)(x+1)=0

Точки перегиба функции: x=0, x=3, x=-1

Исследуем вторую производную в точках перегиба:
y''(0)=0
y''(3)=540
y''(-1)=60

Определим выпуклость и вогнутость функции:

Функция будет выпуклой, если вторая производная положительна (y''>0) в точке перегиба.Функция будет вогнутой, если вторая производная отрицательна (y''<0) в точке перегиба.

Исходя из результатов:

Точка x=0 - точка перегиба (выпуклая)Точка x=3 - точка перегиба (выпуклая)Точка x=-1 - точка перегиба (вогнутая)

Таким образом, функция y=3x^5-10x^4-30x^3+12x+7 будет выпуклой в точках перегиба x=0 и x=3, и вогнутой в точке x=-1.