Дано: sin(a+b) = 4/5, sin(a-b) = 5/13

Мы знаем, что

1) sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
2) sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

Из уравнений 1) и 2) можно составить два уравнения с двумя неизвестными sin a и sin b:

4/5 = sincosb + cos(sinb)
5/13 = sin(b)cos(a) - cos(a)sin(b)

Умножим первое уравнение на sin b и второе уравнение на cos b:

(4/5)sin b = sin acos b + cos asin b
(5/13)cos b = sin bcos a - cos asin b

Теперь сложим получившиеся уравнения:

(4/5)sin b + (5/13)cos b = sin acos b + sin bcos a + cos asin b - cos asin b
(4/5)sin b + (5/13)cos b = sin acos b + sin bcos a

Таким образом, sin asin b = 4/513/5 + 5/13*5/13 = 52/25 + 25/169 = 4324/4225

sin(a+b) = 4/5 и sin(a-b) = 5/13

Теперь найдем sin a и sin b:

sin a = (sin(a+b)+sin(a-b))/2 = (4/5 + 5/13)/2 = (52/65 + 25/65)/2 = 77/130

sin b = (sin(a+b)-sin(a-b))/2 = (4/5 - 5/13)/2 = (52/65 - 25/65)/2 = 27/130

Теперь найдем sin a*sin b:

sin a sin b = (77/130)(27/130) = 2079/16900

И наконец, найдем sin(a+b) + sin(a-b):

sin(a+b) + sin(a-b) = (4/5) + (5/13) = (52/65) + (25/65) = 77/65

Итак, sina + sinb = 77/65 + 2079/16900 = (133280 + 2079)/(16900*65) = 135359/1098500 ≈ 0.1232.