В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому угол АВС равен (180 - 144)/2 = 18°.

Поскольку центр окружности лежит на стороне АВ, то он является серединой этой стороны. Таким образом, АС = ВС = 9. Радиус окружности равен 20,5, значит треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора:
(АВ)^2 = (АС)^2 + (ВС)^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162
(АВ) = √162 = 9√2

Пусть сторона ромба равна а. По свойству ромба, диагонали ромба делят его на четыре равносторонних треугольника. Поэтому, диагонали ромба образуют угол 60°.
Построим высоту ромба, тогда мы получим два равнобедренных треугольника. Так как угол ромба 30°, то треугольник равнобедренный с основаниями сторона ромба и его высота. Значит, у каждого из этих треугольников угол при вершине равен (180-30)/2 = 75°, а одно из оснований а. Поэтому, одно из оснований равно а
а^2 = 6^2 + b^2 - 26bcos75°
12^2 = 6^2 + b^2 - 26bcos75°
144 = 36 + b^2 - 12bcos75°
108 = b^2 - 12b(√3/2)

(а - 6)^2 = b^2
a^2 - 12a + 36 = b^2
108 = a^2 - 12a + 36
72 = a^2 - 12a
a^2 - 12a - 72 = 0
a = 12±√((12)^2 + 472)/2 = 12±√216/2 = 12±6√2
Площадь ромба равна 6a = 6 * (12±6√2) = 72±36√2.