Для доказательства, что выражение (5^{12} + 5^{10}) делится на 13, можно воспользоваться свойствами остатков от деления.

Заметим, что (5^{10} = (5^2)^5 = 25^5 = (26 - 1)^5), аналогично, (5^{12} = (26 - 1)^6).

Теперь применим бином Ньютона для разложения (5^{12} + 5^{10}):
[
(26 - 1)^6 + (26 - 1)^5 = \binom{6}{0} \cdot 26^6 - \binom{6}{1} \cdot 26^5 + \binom{6}{2} \cdot 26^4 - \binom{6}{3} \cdot 26^3 + \binom{6}{4} \cdot 26^2 - \binom{6}{5} \cdot 26 + \binom{6}{6} - \binom{5}{0} \cdot 26^5 + \binom{5}{1} \cdot 26^4 - \binom{5}{2} \cdot 26^3 + \binom{5}{3} \cdot 26^2 - \binom{5}{4} \cdot 26 + \binom{5}{5}
]

После упрощения и сокращения слагаемых по модулю 13, приходим к выводу, что (5^{12} + 5^{10}) делится на 13.