Для нахождения производной функции (f(x) = x^3 \cdot \tan(x)) воспользуемся производными сложной и произведения функций.

Сначала найдем производную произведения функций (U(x) = x^3) и (V(x) = \tan(x)) по формуле (UV' + VU'):

[U'(x) = 3x^2]

[V'(x) = \sec^2(x)]

Теперь выразим производную функции (f(x)) как (f'(x) = (x^3)' \cdot \tan(x) + x^3 \cdot (\tan(x))'):

[f'(x) = 3x^2 \cdot \tan(x) + x^3 \cdot \sec^2(x)]

Таким образом, производная функции (f(x) = x^3 \cdot \tan(x)) равна:

[f'(x) = 3x^2 \cdot \tan(x) + x^3 \cdot \sec^2(x)]