Обозначим исходную дробь как ( \frac{a}{b} ). Тогда по условию задачи у нас есть два уравнения:

1) ( \frac{a+1}{b+2} = \frac{a}{b} )

2) ( \frac{a+2}{b-1} = 6 \cdot \frac{a}{b} )

Решим первое уравнение:

[ \frac{a+1}{b+2} = \frac{a}{b} ]
[ ab = (a+1)(b+2) ]
[ ab = ab + 2a + b + 2 ]
[ 2a + b = 2 ]

Теперь решим второе уравнение:

[ \frac{a+2}{b-1} = 6 \cdot \frac{a}{b} ]
[ 6ab = (a+2)(b-1) ]
[ 6ab = ab + 2a - b + 2 ]
[ 5ab = 2a - b + 2 ]

Подставим первое уравнение во второе:

[ 5a(2 - b) = 2a - b + 2 ]
[ 10a - 5ab = 2a - b + 2 ]
[ 10a - 2a - 2 = 5ab + b ]
[ 8a - 2 = b(5a + 1) ]
[ b = \frac{8a - 2}{5a + 1} ]

Таким образом, дробь будет равна ( \frac{8a}{5a + 1} ). Теперь найдем значение ( a ):

[ 2a + b = 2 ]
[ 2a + \frac{8a - 2}{5a + 1} = 2 ]
[ 2(5a + 1) + 8a - 2 = 2(5a + 1) ]
[ 10a + 2 + 8a - 2 = 10a + 2 ]
[ 18a = 10a + 2 ]
[ 8a = 2 ]
[ a = \frac{1}{4} ]

Таким образом, искомая дробь будет ( \frac{8 \cdot \frac{1}{4}}{5 \cdot \frac{1}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{5}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{5 + 4}{4}} = \frac{2}{\frac{9}{4}} = \frac{8}{9} )