Для нахождения области определения функции f(x)= log5((5x-x^2)/(x+8)), необходимо рассмотреть все подынтегральные выражения, которые находятся под логарифмом.

Выражение внутри логарифма не должно быть отрицательным, т.е. (5x-x^2)/(x+8) > 0. Для этого необходимо найти корни уравнения (5x-x^2)/(x+8) = 0 и точки, где функция меняет знак.

5x-x^2 = 0
x(5-x) = 0
x = 0 или x = 5

Точки, где функция меняет знак:
x = -8, x = 0, x = 5

Теперь необходимо построить знаки функции (5x-x^2)/(x+8) на интервалах (-бесконечность, -8), (-8, 0), (0, 5), (5, +бесконечность), чтобы определить, при каких значениях x это выражение положительно.

Второе условие для логарифма - выражение под логарифмом должно быть больше нуля, т.е. (5x-x^2)/(x+8) != 1, так как log5(1) равен 0, а log5(0) не определен.

Таким образом, область определения функции f(x) = log5((5x-x^2)/(x+8)) будет состоять из всех значения x, таких что (5x-x^2)/(x+8) > 0 и не равно 1.