Для решения данного уравнения можно воспользоваться формулой суммы синусов:
sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

Применим эту формулу к парам синусов в уравнении:
sin(x) + sin(4x) = 2sin((x+4x)/2)cos((4x-x)/2) = 2sin(2.5x)cos(1.5x)
sin(2x) + sin(3x) = 2sin((2x+3x)/2)cos((3x-2x)/2) = 2sin(2.5x)cos(0.5x)

Подставим полученные результаты обратно в уравнение:
2sin(2.5x)cos(1.5x) + 2sin(2.5x)cos(0.5x) = 0
2sin(2.5x)(cos(1.5x) + cos(0.5x)) = 0
sin(2.5x)(2cos(x)cos(0.5x)) = 0
sin(2.5x)cos(0.5x)cos(x) = 0

Таким образом, уравнение будет иметь корни при значениях x, для которых sin(2.5x) = 0 или cos(0.5x) = 0 или cos(x) = 0:
2.5x = πn, n - целое число
0.5x = π/2 + πn
x = πn/2.5, n - целое число
x = (π/2 + πn)/0.5 = π + 2πn, n - целое число
x = πn/2, n - целое число

Таким образом, общее решение уравнения sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0 имеет вид:
x = πn/2.5, n - целое число
x = π + 2πn, n - целое число
x = πn/2, n - целое число