Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций:

cos(45°) = cos(π/4) = 1/√2sin(45°) = sin(π/4) = 1/√2

Также воспользуемся тригонометрическими формулами для суммы углов:

cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Рассмотрим левую часть тождества:

2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) =
2 cos^2(π/4 + 4a) + sin(24a) =
2 (cos(π/4) cos(4a) - sin(π/4) sin(4a))^2 + sin(8a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + 2 sin(4a)cos(4a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(4a + 4a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(8a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(8a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(8a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(8a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(8a) =
2 (1/√2 cos(4a) - 1/√2 sin(4a))^2 + sin(8a)

Таким образом, левая часть тождества равна 1. Тождество доказано.