Обозначим сторону основания пирамиды как a, а высоту пирамиды как h. Тогда апофема (высота боковой грани) равна h'.

Из условия имеем, что отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен a. Это означает, что треугольник, образованный этим отрезком, высотой пирамиды и апофемой, является прямоугольным. Поэтому мы можем записать:

h'^2 = h^2 + (a/2)^2

Теперь вспомним, что боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды является равнобедренным прямоугольным треугольником. Это означает, что его катеты равны половине стороны основания пирамиды, то есть a/2. Тогда гипотенуза этого треугольника равна a (стороне основания).

Таким образом, мы можем записать:

sin(α) = h'/a

Заменим h' из первого уравнения в это уравнение и решим его относительно h. Получим:

h = a sqrt[1 - 1/4 sin^2(α)]

Теперь можем найти объём пирамиды, используя формулу для объёма пирамиды:

V = (1/3) S_основания h

где S_основания - площадь основания пирамиды.

Площадь основания пирамиды равна a^2, следом:

V = (1/3) a^2 h

Подставим выражение для h и получим:

V = (1/3) a^2 a sqrt[1 - 1/4 sin^2(α)]

V = (1/3) a^3 sqrt[1 - 1/4 * sin^2(α)]

Ответ: V = (1/3) a^3 sqrt[1 - 1/4 * sin^2(α)]