Для того чтобы найти тангенс угла наклона касательной к графику функции, проходящей через точку М(1:3), нам необходимо найти производную этой функции в точке М и вычислить тангенс угла наклона как значение этой производной.

Найдем производную функции f(x) = x² + 2x³:
f'(x) = 2x + 6x²

Теперь подставим значение x = 1 (так как точка М(1:3)) в производную функции:
f'(1) = 21 + 61² = 2 + 6 = 8

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке М равен значению производной функции в этой точке:
tg(угла наклона) = f'(1) = 8

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = x² + 2x³, проходящей через точку М(1:3), равен 8.