Для нахождения производной данной функции воспользуемся формулой дифференцирования произведения функций.

Пусть u = x, v = sqrt(x^2 + 2x + 3).

Тогда производная функции f(x) = x*sqrt(x^2 + 2x + 3) равна:

f'(x) = u'v + uv',

где u' - производная функции u, v' - производная функции v.

Вычислим производные функций u и v:

u' = 1,

v' = (x^2 + 2x + 3)^(1/2)' = (1/2)(x^2 + 2x + 3)^(-1/2)(2x + 2) = (x + 1)/(sqrt(x^2 + 2x + 3)).

Теперь подставим значения производных в формулу для f'(x):

f'(x) = 1sqrt(x^2 + 2x + 3) + x(x + 1)/(sqrt(x^2 + 2x + 3)).

Упростим выражение:

f'(x) = sqrt(x^2 + 2x + 3) + x(x + 1)/(sqrt(x^2 + 2x + 3)).

Таким образом, производная функции f(x) = x*sqrt(x^2 + 2x + 3) равна sqrt(x^2 + 2x + 3) + x(x + 1)/(sqrt(x^2 + 2x + 3)).