Даны точки K(-1;-1); L(-2;1); M(2;3); N(3;1). а) докажите, что KLMN - прямоугольник; Даны точки K(-1;-1); L(-2;1); M(2;3); N(3;1).
а) докажите, что KLMN - прямоугольник;
б) найдите косинус угла между его диагоналями;
в) найдите площадь прямоугольника.
Даны точки K(-1;-1); L(-2;1); M(2;3); N(3;1). а) докажите, что KLMN - прямоугольник; Даны точки K(-1;-1); L(-2;1); M(2;3); N(3;1).
а) докажите, что KLMN - прямоугольник;
б) найдите косинус угла между его диагоналями;
в) найдите площадь прямоугольника.
а) докажите, что KLMN - прямоугольник;
б) найдите косинус угла между его диагоналями;
в) найдите площадь прямоугольника.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
a) Для того чтобы доказать, что KLMN - прямоугольник, достаточно показать, что все его стороны параллельны соответствующим сторонам и что углы при вершинах прямые.
Сначала проверим параллельность сторон:
Отрезок KL проходит через точки K−1;−1-1;-1−1;−1 и L−2;1-2;1−2;1. Его направляющий вектор равен −2−(−1);1−(−1)-2-(-1);1-(-1)−2−(−1);1−(−1) = −1;2-1;2−1;2.
Отрезок MN проходит через точки M2;32;32;3 и N3;13;13;1. Его направляющий вектор равен 3−2;1−33-2;1-33−2;1−3 = 1;−21;-21;−2.
Получаем, что вектор KL −1;2-1;2−1;2 и вектор MN 1;−21;-21;−2 коллинеарны, следовательно, отрезки KL и MN параллельны.
Аналогичным образом можно показать, что отрезки KM и NL также параллельны.
Теперь проверим, что углы при вершинах прямые:
Найдем направляющие векторы KL, KM, MN, NL:
KL −1;2-1;2−1;2 KM 2−(−1);3−(−1)2-(-1);3-(-1)2−(−1);3−(−1) = 3;43;43;4 MN 1;−21;-21;−2 NL 3−(−2);1−13-(-2);1-13−(−2);1−1 = 5;05;05;0
Проверим, что произведение скалярных произведений этих векторов равно 0:
KL,KMKL, KMKL,KM KM,MNKM, MNKM,MN = −1</em>3+2<em>4-1</em>3 + 2<em>4−1</em>3+2<em>4 3<em>(−2)+4</em>13<em>(-2) + 4</em>13<em>(−2)+4</em>1 = −3+8-3 + 8−3+8−6+4 -6 + 4−6+4 = 5−2-2−2 = -10
KM,MNKM, MNKM,MN MN,NLMN, NLMN,NL = 3</em>1+4<em>(−2)3</em>1 + 4<em>(-2)3</em>1+4<em>(−2) −2<em>5+0</em>1-2<em>5 + 0</em>1−2<em>5+0</em>1 = 3−83 - 83−8−10 -10−10 = -5−10-10−10 = 50
Таким образом, произведения не равны 0, следовательно, углы не являются прямыми.
Из этого следует, что KLMN не является прямоугольником.
б) Найдем косинус угла между диагоналями прямоугольника. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:
cosуголуголугол = AB<em>CDAB <em> CDAB<em>CD / |AB||CD|,
где AB и CD - диагонали прямоугольника KLMN
Найдем вектора диагоналей:
AC KMKMKM = 3;43;43;4 BD NLNLNL = 5;05;05;0
Найдем их скалярное произведение:
AC BD = 35 + 4*0 = 15
Найдем длины диагоналей:
|AC| = sqrt32+423^2 + 4^232+42 = sqrt9+169+169+16 = 5
|BD| = sqrt52+025^2 + 0^252+02 = 5
Теперь подставим все в формулу для косинуса угла между диагоналями:
cosуголуголугол = 15 / 5∗55*55∗5 = 15 / 25 = 0.6
Ответ: косинус угла между диагоналями прямоугольника KLMN равен 0.6.
в) Найдем площадь прямоугольника KLMN. Площадь прямоугольника можно найти как произведение длин его сторон:
Длина стороны KM: sqrt(2−(−1))2+(3−(−1))2(2-(-1))^2 + (3-(-1))^2(2−(−1))2+(3−(−1))2 = sqrt32+423^2 + 4^232+42 = 5
Длина стороны KL: sqrt(−2−(−1))2+(1−(−1))2(-2-(-1))^2 + (1-(-1))^2(−2−(−1))2+(1−(−1))2 = sqrt(−1)2+22(-1)^2 + 2^2(−1)2+22 = sqrt1+41 + 41+4 = sqrt555 Площадь прямоугольника KLMN: 5 sqrt555 = 5sqrt555 ≈ 11.18
Ответ: Площадь прямоугольника KLMN равна 5*sqrt555 ≈ 11.18.