Из условия задачи можно заметить, что треугольник АВС равнобедренный (так как АВ = АС) и прямоугольный (так как АМ перпендикулярна плоскости АВС).

Таким образом, периметр треугольника АВС равен:

10 + 12 + 10 = 32.

Поскольку АВ = АС = 10, то АВС - равнобедренный, значит угол А равен углу С.

Из прямоугольности треугольника АМК можем выделить прямоугольный треугольник AMП, где MP = 3 (половина медианы АМ) и АP = 6. Также MK = 16-3=13.

Из теоремы Пифагора находим длину AM: √(6² + 3²) = √45 = 3√5.

Итак,
AK = 3√5 - 3
MK = 13
AR = 13 - 6 = 7.