Для того чтобы доказать, что векторы ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BD} ) перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно 0.

Найдем координаты векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BD} ):

[ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 8-2 \ 1-1 \ -4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 0 \ 4 \end{pmatrix} ]

[ \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 9-1 \ 7-(-5) \ -12-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \ 12 \ -12 \end{pmatrix} ]

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 6 \cdot 8 + 0 \cdot 12 + 4 \cdot (-12) = 48 - 48 = 0 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BD} ) равно 0, что означает, что данные векторы перпендикулярны.