Для нахождения предела Lim x→3 (x^2 -6x+9)/(x^2 -9), можно сначала сократить обе части дроби:

(x^2 -6x+9)/(x^2 -9) = (x-3)^2 / (x+3)(x-3)

Затем упростим дробь:

(x-3)^2 = (x-3)(x-3) = x^2 -6x + 9

(x+3)(x-3) = x^2 - 9

Теперь можем подставить упрощенную дробь обратно в предел:

Lim x→3 (x^2 -6x+9)/(x^2 -9) = Lim x→3 (x^2 -6x+9) / (x+3)(x-3) = Lim x→3 (x-3)/(x+3) = 0

Для предела Lim x→oo (√3x-1 - √x+5), можно воспользоваться правилом Лопиталя, так как предел бесконечности. Преобразуем выражение для удобства и вынесем общие множители:

√(3x+1) - √(x+5) = √(x) √(3 + 1/x) - √(x) √(1 + 5/x)

Теперь подставим это в предел и продифференцируем:

Lim x→oo (√(3x+1) - √(x+5)) = Lim x→oo (√(x) √(3 + 1/x) - √(x) √(1 + 5/x)) = Lim x→oo (3/(2√(3x+1)) - 1/(2√(x+5))) = 0

Для предела Lim x→0 ((2x+1)/(x+1))^1/x, сначала преобразуем выражение:

((2x+1)/(x+1))^1/x = e^(Lim x→0 (ln((2x+1)/(x+1))/x))

Поделив числитель и знаменатель на x и воспользовавшись правилом Лопиталя, получим:

Lim x→0 (ln((2x+1)/(x+1))/x) = Lim x→0 ((2/(2x+1) - 1/(x+1))/(1)) = 1

Таким образом, ответ на предел будет e^1 = e.

Для предела Lim x→0 (8x*ctg(x)), раскроем tangens через синус и косинус, и затем продифференцируем:

Lim x→0 (8xctg(x)) = Lim x→0 (8xcos(x)/sin(x)) = Lim x→0 (8cos(x)/sin(x)) = 8

Для предела Lim x→π/2 (sin(x))^tg(x), подставим значение предела и воспользуемся свойствами тригонометрических функций:

Lim x→π/2 (sin(x))^tg(x) = sin(π/2)^tg(π/2) = 1^∞ = 1.