Докажем это утверждение по индукции.

База индукции:
Пусть первое натуральное число равно n. Тогда сумма шести последовательных натуральных чисел будет равна n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) = 6n + 15. Заметим, что 6n + 15 является нечетным числом (четное число увеличенное на нечетное число всегда будет нечетным).

Индукционный переход:
Предположим, что сумма шести последовательных натуральных чисел, начиная с числа n, нечетная. Докажем, что то же самое верно и для числа n+1.
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) = 6n + 15 - исходная сумма
(n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) = 6(n+1) + 15 = 6n + 21 = 6n + 15 + 6 = нечетное число

Таким образом, сумма шести последовательных натуральных чисел всегда будет нечетной.