Для решения данного ОДУ воспользуемся методом замены переменной. Обозначим y' = z, тогда y'' = z'. Подставим эти выражения в данное уравнение:

z' + 6z + 8y = 0

Получаем следующее уравнение второго порядка:

z' + 6z + 8y = 0

Данное уравнение можно решить методом характеристического уравнения:

λ^2 + 6λ + 8 = 0

D = 36 - 32 = 4
λ1,2 = $-6\pm \surd 4$ / 2 = -3 ± 1

Итак, получаем два корня характеристического уравнения: λ1 = -4 и λ2 = -2. Теперь можем записать общее решение уравнения:

z = c1e^$-4x$ + c2e^$-2x$

Теперь найдем соответствующее решение исходного уравнения для переменной y:

y = ∫z dx = c1∫e^$-4x$ dx + c2∫e^$-2x$ dx

y = c1$-1/4$e^$-4x$ + c2$-1/2$e^$-2x$ + C

Таким образом, общее решение уравнения y^11 + 6y + 8y = 0 записывается в виде:

y = c1$-1/4$e^$-4x$ + c2$-1/2$e^$-2x$ + C