Для того чтобы найти экстремумы функции F(x) на промежутке [-1;2], необходимо найти её производную и приравнять её к нулю:

F'(x) = 3x^2 - 12x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

3x^2 - 12x = 0
3x(x - 4) = 0

Отсюда получаем две возможные точки экстремума:
x = 0 и x = 4

Теперь осталось проверить значение функции в этих точках и на концах промежутка [-1;2]:

F(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9 = -1 - 6 + 9 = 2
F(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9
F(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7

Сравнивая значения функции в точках -1, 0, 2 и найденных экстремумах 0 и 4, видим, что наибольшее значение функции F(x) на промежутке [-1;2] равно 9, а наименьшее значение равно -7. Таким образом, максимум и минимум функции на этом промежутке достигаются в точках x = 0 и x = 2 соответственно.