Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить методом интегрирования.

Сначала найдем общее решение уравнения y" = 6x + 4. Для этого нужно проинтегрировать уравнение дважды по x:

y' = 3x^2 + 4x + C1,
y = x^3 + 2x^2 + C1x + C2.

Теперь подставим начальные условия y(1) = 4 и y'(1) = 4 в общее решение и найдем константы C1 и C2:

4 = 1 + 2 + C1 + C2,
4 = 3 + 4 + C1.

Из первого уравнения получаем C1 + C2 = 1, а из второго C1 = -3.

Таким образом, частное решение уравнения y" = 6x + 4 при y(1) = 4, y'(1) = 4:

y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1.