Данное уравнение является квадратным относительно $x^3$.

Проведем замену: $y = x^3$.

Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 26y - 27 = 0$.

Факторизуем квадратное уравнение: $(y + 1)(y - 27) = 0$.

Таким образом, получаем два уравнения: $y + 1 = 0$ и $y - 27 = 0$.

Решим каждое уравнение:

$y = -1$

$y = 27$

Обратно возвращаемся к замене:

$x = -1$

$x = 3$

Итак, решениями уравнения $x^6 - 26x^3 - 27 = 0$ являются $x = -1$ и $x = 3$.