Дано:

Периметр прямоугольного треугольника: P = 84
Гипотенуза: c = 37

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты a и b:

S = 0.5 a b

Периметр треугольника также можно выразить через его катеты:

P = a + b + c

Также, из свойства прямоугольного треугольника:

c^2 = a^2 + b^2

Теперь составим систему уравнений:
{
a + b + 37 = 84,
a^2 + b^2 = 37^2
}

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим b через a: b = 84 - a - 37 = 47 - aПодставим это значение b во второе уравнение и решим уравнение относительно a:

a^2 + (47 - a)^2 = 37^2
a^2 + 2209 - 94a + a^2 = 1369
2a^2 - 94a + 840 = 0
a^2 - 47a + 420 = 0
(a - 12)(a - 35) = 0

a = 12 или a = 35

Если a = 12, то b = 47 - 12 = 35
Если a = 35, то b = 47 - 35 = 12

Итак, у нас есть два возможных варианта для катетов: a = 12, b = 35 или a = 35, b = 12.

Подставим значения катетов в формулу для площади и найдем площадь треугольника:

Для a = 12, b = 35:
S = 0.5 12 35 = 210

Для a = 35, b = 12:
S = 0.5 35 12 = 210

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 210.