Для доказательства неравенства a^4 + 1/a^2 + 2/a >= 4 при a > 0, рассмотрим выражение:

a^4 + 1/a^2 + 2/a - 4

Преобразуем данное выражение:

a^4 - 2a - 1 + 2a - 4

a^4 - 5 >= 0

Теперь рассмотрим функцию f(a) = a^4 - 5.

Найдем производную данной функции:

f'(a) = 4a^3

Так как производная функции f(a) положительна для всех a > 0, это означает, что функция f(a) возрастает на всей области определения, а следовательно, f(a) >= f(0).

При a > 0: a^4 - 5 >= 0

Таким образом, доказано неравенство a^4 + 1/a^2 + 2/a >= 4 при a > 0.