Обращаем внимание, что если последовательность монотонна, то обязательно будет выполняться (a_{n+1} > an) (для строго возрастающей) или (a{n+1} < a_n) (для строго убывающей). Поэтому нас интересует знак полученной разности.
Теперь попробуем определить знак этой разности. Мы видим, что числитель положительный, а знаменатель - также положительный для всех натуральных (n). Поэтому знак разности будет зависеть от знака ((4n - 3)), то есть:
[4n - 3 > 0 \iff n > \frac{3}{4}.]
Следовательно, последовательность (a_n) строго возрастает при (n > 0) (в частности, для всех натуральных \n), и, значит, является монотонной.
Для исследования монотонности последовательности (a_n = \frac{6n-3}{2n+2}) вычислим разность соседних членов:
[a_{n+1} - a_n = \frac{6(n+1)-3}{2(n+1)+2} - \frac{6n-3}{2n+2}.]
Обращаем внимание, что если последовательность монотонна, то обязательно будет выполняться (a_{n+1} > an) (для строго возрастающей) или (a{n+1} < a_n) (для строго убывающей). Поэтому нас интересует знак полученной разности.
После вычислений мы получаем:
[a_{n+1} - a_n = \frac{6n + 6 - 3 - 2n - 6}{2n + 4} = \frac{4n - 3}{2n + 4}.]
Теперь попробуем определить знак этой разности. Мы видим, что числитель положительный, а знаменатель - также положительный для всех натуральных (n). Поэтому знак разности будет зависеть от знака ((4n - 3)), то есть:
[4n - 3 > 0 \iff n > \frac{3}{4}.]
Следовательно, последовательность (a_n) строго возрастает при (n > 0) (в частности, для всех натуральных \n), и, значит, является монотонной.