Скалярное произведение выражается как произведение суммы координат векторов:
[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z ]

Векторное произведение выражается через определитель матрицы, составленной из координат векторов:
[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} ]

Смешанное произведение также выражается через определитель матрицы, только теперь в нее добавляется координата третьего вектора:
[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} ]