Чтобы найти частные производные функции z^2 по независимым аргументам x и y, сначала выразим z, u и v через x и y:

z = sqrt$u^2+v^2$

u = x + y

v = x^2 - y^2

Теперь найдем частные производные:

∂z^2/∂x = 2z $\partial z/\partial x$ = 2z $\partial z/\partial u$ $\partial u/\partial x$ + 2z $\partial z/\partial v$ * $\partial v/\partial x$

∂z/∂u = $1/2$ $u^2+v^2$^$-1/2$ 2u = u / z

∂z/∂v = $1/2$ $u^2+v^2$^$-1/2$ 2v = v / z

∂u/∂x = 1

∂v/∂x = 2x

Теперь подставим все значения:

∂z^2/∂x = 2z $u/z$ 1 + 2z $v/z$ 2x = 2u + 4xz

Аналогично для ∂z^2/∂y получаем:

∂z^2/∂y = 2z $\partial z/\partial x$ = 2z $\partial z/\partial u$ $\partial u/\partial y$ + 2z $\partial z/\partial v$ * $\partial v/\partial y$ = 2u - 2y + 4xy